Question

12．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆C上异于顶点的任一点P作圆O：x²+y²=b²的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则$\frac{{b}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{|ON{|}^{2}}$的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由椭圆的离心率结合隐含条件求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，设A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），则可得切线PA、PB的方程，即可得到A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，求出点M（$\frac{{b}^{2}}{{x}_{P}}$，0），N（0，$\frac{{b}^{2}}{{y}_{P}}$），从而得到$\frac{{a}^{2}}{|ON{|}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{{y}_{P}}^{2}}{{b}^{4}}+\frac{{a}^{2}{{x}_{P}}^{2}}{{b}^{4}}$=（$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{{b}^{2}}$）•$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，答案可求．

解答 解：$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$．
设A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），则切线PA、PB的方程分别为 x_A•x+y_A•y=b²，x_B•x+y_B•y=b²．
由于点P 是切线PA、PB的交点，
∴点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PB的方程．
∴A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，故点M（$\frac{{b}^{2}}{{x}_{P}}$，0），N（0，$\frac{{b}^{2}}{{y}_{P}}$）．
又$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴$\frac{{a}^{2}}{|ON{|}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{{y}_{P}}^{2}}{{b}^{4}}+\frac{{a}^{2}{{x}_{P}}^{2}}{{b}^{4}}$=（$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{{b}^{2}}$）•$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到故A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，是解题的难点和关键，属于中档题．