Question

4．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=lg$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，若对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）≥0恒成立，则实数a的取值范围[0，+∞）∪（-∞，-3]∪{-1}．

Answer 1

分析 当x＞0时，f（x）=）=lg$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=lg$\frac{1}{1+{2}^{-x}}$，可得f（x）在（0，+∞）单调递增．由于对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，又f（x）是定义在R上的偶函数，可得|t+a|＞|t-1|，转化为（2a+2）t+a²-1＞0，利用一次函数的单调性即可得出．

解答 解：当x＞0时，f（x）=）=lg$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=lg$\frac{1}{1+{2}^{-x}}$，
∵y=2^-x是减函数，可得f（x）在（0，+∞）单调递增．
∵对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴|t+a|＞|t-1|，⇒（2a+2）t+a²-1＞0在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2a+2）{+a}^{2}-1≥0}\\{2（2a+2）+{a}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a≥0}\\{{a}^{2}+4a+3≥0}\end{array}\right.$解得a≥0或a≤-3或a=-1
故答案为：[0，+∞）∪（-∞，-3]∪{-1}．

点评 本题考查了复合函数的单调性、奇偶性，恒成立问题的处理，属于中档题．