题目内容
17．已知圆 M：x2+（y-2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；
（2）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直线MQ的方程．
分析 （1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可．
（2）设AB与MQ交于点P，求．出|MP|，利用相似三角形，|MB|2=|MP||MQ|，设Q（x，0），通过x2+22=9，求解即可．
解答 解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，
∴$\frac{|2m+1|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=1$，∴m=-$\frac{4}{3}$或m=0，
∴切线方程为3x+4y-3=0和x=1．
（2）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，∵MB⊥BQ，∴|MP|=$\sqrt{1-（{\frac{2\sqrt{2}}{3}）}^{2}}=\frac{1}{3}$，
利用相似三角形，|MB|2=|MP||MQ|，∴|MQ|=3，设Q（x，0），x2+22=9，∴x=$±\sqrt{5}$，
直线方程为：2x+$\sqrt{5}y-2\sqrt{5}=0$或2x-$\sqrt{5}y+2\sqrt{5}$=0．
点评 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
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12．
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如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆C上异于顶点的任一点P作圆O：x2+y2=b2的两条切线，切点分别为A，B，若直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则$\frac{{b}^{2}}{|OM{|}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{|ON{|}^{2}}$的值为（ ）| A． | 1 | B． | $\frac{5}{3}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{4}{3}$ |
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