Question

已知函数f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间与最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）把x=

π

4

代入函数解析式求得答案．
（Ⅱ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得单调区间和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x
∴f（

π

4

）=（

2

2

）²+2-

2

2

×

2

2

-（

2

2

）²=1．
（Ⅱ）∵f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∴当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，函数单调增，
∴函数f（x）的单调增区间是[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z），
当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值为

2

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对基础知识的掌握．