Question

5．设圆x²+y²=a²与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$1（a＞0，b＞0）的渐近线在第一象限的交点为M，A₁，A₂分别为双曲线C的左、右顶点，直线A₁M交双曲线C的右支于点P，若直线A₂M和A₂P的倾斜角互补，则C的渐近线方程为y=x．

Answer 1

分析 A₁（-a，0），A₂（a，0）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，化为（a²+b²）x²=a⁴，解得M$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{c}）$．直线A₁M的方程为：化为：y=$\frac{b}{a+c}$（x+a），与双曲线方程联立化为：（2ac+c²）x²-2a³x-2a⁴-2a³c-a²c²=0．解得P．根据直线A₂M和A₂P的倾斜角互补，可得${k}_{{A}_{2}P}$+${k}_{{A}_{2}M}$=0，即可得出．

解答 解：A₁（-a，0），A₂（a，0）．
如图所示，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}}\end{array}\right.$，化为（a²+b²）x²=a⁴，即c²x²=a⁴，x＞0，
解得x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$，∴M$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{c}）$．
直线A₁M的方程为：y-0=$\frac{\frac{ab}{c}-0}{\frac{{a}^{2}}{c}+a}$（x+a），化为：y=$\frac{b}{a+c}$（x+a），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a+c}（x+a）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（2ac+c²）x²-2a³x-2a⁴-2a³c-a²c²=0．
解得x=$\frac{2{a}^{2}c+a{c}^{2}+2{a}^{3}}{2ac+{c}^{2}}$，y=$\frac{2ab（a+c）}{2ac+{c}^{2}}$．
∴P（$\frac{2{a}^{2}c+a{c}^{2}+2{a}^{3}}{2ac+{c}^{2}}$，$\frac{2ab（a+c）}{2ac+{c}^{2}}$）．
∴${k}_{{A}_{2}P}$=$\frac{\frac{2ab（a+c）}{2ac+{c}^{2}}}{\frac{2{a}^{2}c+a{c}^{2}+2{a}^{3}}{2ac+{c}^{2}}-a}$=$\frac{b（a+c）}{{a}^{2}}$，
又${k}_{{A}_{2}M}$=$\frac{\frac{ab}{c}-0}{\frac{{a}^{2}}{c}-a}$=$\frac{b}{a-c}$．
∵直线A₂M和A₂P的倾斜角互补，
∴${k}_{{A}_{2}P}$+${k}_{{A}_{2}M}$=$\frac{b（a+c）}{{a}^{2}}$+$\frac{b}{a-c}$=0，
化为：a=b．
∴C的渐近线方程为：y=x．
故答案为：y=x．

点评 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质、直线与圆及其双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．