Question

10．若非零函数f（x）对于任意的实数a，b均有f（a+b）=f（a）?f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：$f（-x）=\frac{1}{f（x）}$；
（3）求证：f（x）＞0；
（4）求证：f（x）为减函数；
（5）当$f（4）=\frac{1}{16}$时，解不等式f（x²+x-3）?f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据抽象函数，利用赋值法取a=b=0，即可求出f（0）=1；
（2）取a=x，b=-x，即可证明
（3）结合（2）可得x＞0时，f（x）∈（0，1），再结合（1）知f（x）＞0，x∈R．
（4）根据函数单调性的定义证明f（x）为R上的减函数；
（5）利用函数单调性的性质，解不等式即可．

解答 解：（1）取a=b=0，得f（0）=[f（0）]²，而f（x）≠0，所以f（0）=1．
证明：（2）取a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x）=1，则$f（-x）=\frac{1}{f（x）}$．
证明：（3）由（2）及x＜0时，f（x）＞1，可知$f（-x）=\frac{1}{f（x）}$∈（0，1），
即x＞0时，f（x）∈（0，1）．
再结合（1）知f（x）＞0，x∈R．
证明：（4）当b＜0时，a+b＜a，f（b）＞1，f（a）＞0，
∴f（a+b）=f（a）?f（b）＞f（a）?1=f（a），
故f（x）为减函数．
（5）∵$\frac{1}{16}=f（4）=f（2+2）=f（2）•f（2）$，且f（2）＞0，
∴$f（2）=\frac{1}{4}$．
于是不等式f（x²+x-3）?f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$可以化为f（x+2）≤f（2），
再由f（x）为R上的减函数得
x+2≥2⇒x≥0
∴不等式的解集为[0，+∞）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，以及函数单调性的定义，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的运算能力．