Question

17．已知集合A={3，3²，3³，…，3ⁿ}（n≥3），从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，记满足此条件的等比数列的个数为f（n）
（Ⅰ）f（5）=8；
（Ⅱ）若f（n）=220，则n=22．

Answer 1

分析 （I）n=5时，A═{3，3²，3³，3⁴，3⁵}，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，则共有3，3²，3³；3²，3³，3⁴；3³，3⁴，3⁵；3，3³，3⁵．其顺序反过来也成立．可得f（5）．
（II）A={3，3²，3³，…，3ⁿ}（n≥3），公比为3的共有：n-2个；公比为$\frac{1}{3}$的共有：n-2个．公比为3²的共有：n-4个；公比为$\frac{1}{{3}^{2}}$的共有：n-4个．…，则f（n）=220=2[（n-2）+（n-4）+…2]，即可得出．

解答 解：（I）n=5时，A═{3，3²，3³，3⁴，3⁵}，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，则共有3，3²，3³；3²，3³，3⁴；3³，3⁴，3⁵；3，3³，3⁵．其顺序反过来也成立．因此f（5）=8．
（II）A={3，3²，3³，…，3ⁿ}（n≥3），
公比为3的共有：n-2个；公比为$\frac{1}{3}$的共有：n-2个．
公比为3²的共有：n-4个；公比为$\frac{1}{{3}^{2}}$的共有：n-4个．
…，
则f（n）=220=2[（n-2）+（n-4）+…2]，
∴$\frac{（n-2+2）×\frac{n-2}{2}}{2}×2=220$，n²-2n-440=0，
解得n=22．
故答案为：8，22．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．