题目内容
已知a＞0，b＞0，方程x2+（a+bi）x+1+ai=0有实根，求a的最小值，并求a取最小值时b的值，并解此方程．
考点：实系数多项式虚根成对定理
专题：数系的扩充和复数
分析：方程x2+（a+bi）x+1+ai=0有实根，可化为：x2+ax+1+（bx+a）i=0，利用复数相等可得：x2+ax+1=0，
bx+a=0．消去x可得：a2=
=b-1+
+2，再利用基本不等式的性质即可得出．
bx+a=0．消去x可得：a2=
| b2 |
| b-1 |
| 1 |
| b-1 |
解答：
解：∵方程x2+（a+bi）x+1+ai=0有实根，
∴可化为：x2+ax+1+（bx+a）i=0，
∴x2+ax+1=0，bx+a=0．
消去x可得：a2-a2b+b2=0（b＞1，否则矛盾），
∴a2=
=b-1+
+2≥2
+2=4，当且仅当b=2时取等号．
∴当b=2时a取得最小值2．
∴可化为：x2+ax+1+（bx+a）i=0，
∴x2+ax+1=0，bx+a=0．
消去x可得：a2-a2b+b2=0（b＞1，否则矛盾），
∴a2=
| b2 |
| b-1 |
| 1 |
| b-1 |
(b-1)•
|
∴当b=2时a取得最小值2．
点评：本题考查了复数相等、基本不等式的性质，考查了变形能力，属于中档题．
练习册系列答案
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