Question

已知函数f(x)=-2

3

sin2x+sin2x+

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-

π

2

，0]上的最值及取得最值时自变量x的取值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先通过三角恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用公式求出函数的周期和单调区间．
（Ⅱ）直接利用函数的定义域，利用整体思想求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

(1-2sin2x)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)，
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，(k∈Z)，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，(k∈Z)．
（Ⅱ）∵-

π

2

≤x≤0，∴-

2π

3

≤2x+

π

3

≤

π

3

，
∴当2x+

π

3

=-

π

2

，即x=-

5π

12

时，f（x）_min=-2，
∴当2x+

π

3

=

π

3

，即x=0时，f(x)max=

3

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的求法，函数的单调区间的应用，利用函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．