Question

如图所示，在水平放置的边长为40cm的正方形轨道模型上，质点甲从A点出发以8cm/s的速度沿点A-B-C方向运动，同时另一质点乙从B点出发以10cm/s的速度沿点B-C-D方向运动．
（1）试将甲、乙两点连线和折线A-B-C-D围成的封闭图形的面积S表示为时间t（0≤t≤8）的函数；
（2）在第（1）问的条件下，求出封闭图形面积S的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的值

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，封闭图形从三角形，梯形，矩形，梯形，再到三角形变化，从而写出函数表达式；
（2）求分段函数的最值，转化为实际意义即可．

解答： 解：（1）由题意，
S=

1 2 •(40-8t)•10t，0≤t≤4 1 2 (40-8t+10t-40)•40，4＜t＜5 1 2 (80-8t)(10t-40)，5≤t≤8

，
（2）当0≤t≤4时，
S=40（5-t）t，≤40×2.5×2.5=250，
当4＜t＜5时，
S=40t＜200，
当5≤t≤8时，
S=40（10-t）（t-4）≤40×3×3=360，
则封闭图形面积S的最大值为360cm²．

点评：本题考查了学生由实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了分段函数的最值问题，属于中档题．