Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，x＞0时，f（x）=

x+1

+1，则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：首先令x＜0，则-x＞0，代入已知解析式，得到f（-x），再结合函数是奇函数，得到f（x）=-f（-x），即得x＜0时的解析式．

解答： 解：令x＜0，则-x＞0，由已知，得
f（-x）=

-x+1

+1，①
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
所以由①得f（x）=-1-

1-x

，
x=0时，f（0）=0，
所以函数在定义域上的解析式为f（x）=

x+1 +1，x＞0 0，x=0 -1- 1-x ，x＜0

．
故答案为：

x+1 +1，x＞0 0，x=0 -1- 1-x ，x＜0

．

点评：本题考查了奇函数对称区间的解析式求法，关键是在未知的区间上设出未知数，然后加符号转化到已知区间，利用函数的奇偶性得到未知区间的解析式；对于奇函数在x=0处有意义，则f（0）=0．