Question

13．若对任意的实数a，函数f（x）=（x-1）lnx-ax+a+b有两个不同的零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，0）
• C． （0，1）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 作出y=（x-1）lnx与y=a（x-1）-b的函数图象，根据两图象恒有两个交点得出直线定点的位置，从而得出b的范围．

解答 解：令f（x）=0得（x-1）lnx=a（x-1）-b，
令g（x）=（x-1）lnx，则g′（x）=lnx+1-$\frac{1}{x}$，
∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
作出y=（x-1）lnx与y=a（x-1）-b的大致函数图象，

∵f（x）很有两个不同的零点，
∴y=a（x-1）-b与g（x）=（x-1）lnx恒有两个交点，
∵直线y=a（x-1）-b恒过点（1，-b），
∴-b＞0，即b＜0．
故选B．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．