Question

1．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…．设第n次“扩展”后所得数列为1，x₁，x₂，…，x_m，2，并记a_n=log₂（1•x₁•x₂•…•x_m•2），则数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{{{3^n}+1}}{2}$，n∈N*．

Answer 1

分析 由a_n=log₂（1•x₁•x₂•…•x_m•2），可得a_n+1=log₂[1•（1•x₁）•x₁•（x₁x₂）•x₂•…•x_m（2x_m）•2]，可化为a_n+1=3a_n-1，设a_n+1+t=3（a_n+t），求得t，再由等比数列的通项公式，计算即可得到所求．

解答 解：a_n=log₂（1•x₁•x₂•…•x_m•2），
可得a_n+1=log₂[1•（1•x₁）•x₁•（x₁x₂）•x₂•…•x_m（2x_m）•2]
=${log_2}（{1^3}•{x_1}^3•{x_2}^3•…•{x_m}^3•{2^2}）=3{a_n}-1$．
设a_n+1+t=3（a_n+t），
即为a_n+1=3a_n+2t，可得t=-$\frac{1}{2}$，
则{a_n-$\frac{1}{2}$}是首项为2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列，
可得a_n-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，
即为a_n=$\frac{{3}^{n}+1}{2}$，n∈N*．
故答案为：${a_n}=\frac{{{3^n}+1}}{2}$，n∈N*．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和数列通项公式的求法，注意运用构造等比数列，考查化简整理的运算能力，属于中档题．