Question

5．已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2$\sqrt{5}$，离心率为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）证明：存在实数λ，使得$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{CD}$为常数，并求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由2a=2$\sqrt{5}$，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b²=a²-c²=1，求得椭圆方程，由$\frac{p}{2}$=c，求得c的值，求得抛物线方程；
（2）设直线l的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨AB丨及丨CD丨，由$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$=$\frac{（20+\sqrt{5}λ）{k}^{2}+4}{8\sqrt{5}（{k}^{2}+1）}$为常数，则须有20+$\sqrt{5}$λ=4，即可求得λ的值．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由2a=2$\sqrt{5}$，则a=$\sqrt{5}$，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
则c=2，b²=a²-c²=1，
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；…4分
由$\frac{p}{2}$=c，解得：c=4，
故抛物线G的方程为y²=8x；…5分
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由题意，直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，…（6分）
△₁=400k⁴-4（20k²-5）（1+5k²）=20（k²+1）＞0． …（7分）
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}（1+{k}^{2}）}{1+5{k}^{2}}$． …（8分）
由 $\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消去y，整理得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，…（9分）
△₂=（4k²+8）²-4k²•4k²=64（k²+1）＞0，
则x₃+x₄=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
由抛物线定义得|CD|=x₃+x₄+4=$\frac{8（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，…（10分）
∴$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$=$\frac{1+5{k}^{2}}{2\sqrt{5}（{k}^{2}+1）}$+$\frac{λ{k}^{2}}{8（{k}^{2}+1）}$=$\frac{（20+\sqrt{5}λ）{k}^{2}+4}{8\sqrt{5}（{k}^{2}+1）}$，…（11分）
要使$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$为常数，则须有20+$\sqrt{5}$λ=4，
解得λ=-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$． …（12分）
∴存在λ=-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，使$\frac{2}{|AB|}$+$\frac{λ}{丨CD丨}$为常数．

点评 本题考查圆锥曲线的综合应用，椭圆与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．