题目内容

4．证明tan3°是无理数．

分析 假设tan3°为有理数，由条件和和角的正切公式可以推出矛盾，可得假设不正确，从而命题得证．

解答 证明：假设tan3°为有理数，则
根据tan（a+b）=$\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}$，有tan6°=$\frac{tan3°+tan3°}{1-tan3°tan3°}$也是有理数，
继而有tan9°也为有理数，可得tan30°也为有理数，
而tan30°=$\sqrt{3}$是一个无理数，所以假设不成立，
所以，tan3°为有理数不成立，即tan3°为无理数．

点评 本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．

练习册系列答案
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A．72B．324C．648D．1296

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