Question

14．若球的直径SC=2，A，B是球面上的两点，AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠SCA=∠SCB=60°，则棱锥S-ABC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 设球心为O，连结AO、BO，取CO的中点D，连结AD、BD．由球的直径的性质可得△SAC中∠SAC=90°，结合∠ASC=30°且SC=2，算出AC=1，可得△AOC是边长为1的正三角形，得出AD⊥SC且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，同理BD⊥SC且BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．由此可得△ABD是边长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的等边三角形且SC⊥平面ABD，再利用锥体的体积公式加以计算，可得三棱锥S-ABC的体积．

解答 解设球心为O，连结AO、BO，取CO的中点D，连结AD、BD，
∵SC为球的直径，A、B是球面上的点，∴∠SAC=∠SBC=90°．
又∵∠SCA=∠SCB=60°，SC=2，∴BC=AC=$\frac{1}{2}$SC=1．
∵△AOC中，AO=CO=AC=1，∴△AOC是边长为1的正三角形，
又∵D为CO的中点，∴AD⊥SC且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
同理可得BD⊥SC且BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AD、BD是平面ABD内的相交直线，∴SC⊥平面ABD．
∵AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ABD是等边三角形，可得S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD×BDsin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．
因此，三棱锥S-ABC的体积为
V=V_C-ABD+V_S-ABD=$\frac{1}{3}$×S_△ABD×CD+$\frac{1}{3}$×S_△ABD×SD=$\frac{1}{3}$×S_△ABD（CD+SD）
=$\frac{1}{3}$S_△ABD×SC=$\frac{1}{3}$×2×$\frac{3\sqrt{3}}{16}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题给出球的直径与两条直线所成角的大小，求球内接三棱锥的体积．着重考查了球的性质、球内接多面体、线面垂直的判定定理与锥体体积求法等知识，属于中档题．