Question

9．等腰直角三角形ABC中，A=90°，A，B在双曲线E的同一支上，且线段AB通过双曲线的一个焦点，C为双曲线E的另一个焦点，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$
• B． $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 设线段AB通过双曲线的一个焦点F为（-c，0），C为双曲线E的另一个焦点（c，0），设|AF|=m，|BF|=n，运用双曲线的定义，可得|AC|=m+2a，|BC|=n+2a，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，可得m=2（$\sqrt{2}$-1）a，再在直角三角形ACF中，运用勾股定理，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设线段AB通过双曲线的一个焦点F为（-c，0），
C为双曲线E的另一个焦点（c，0），
设|AF|=m，|BF|=n，
由双曲线的定义可得|AC|-|AF|=|BC|-|BF|=2a，
即有|AC|=m+2a，|BC|=n+2a，
由等腰直角三角形ABC中，A=90°，
可得|AB|=|AC|，|BC|=$\sqrt{2}$|AC|，
即有m+n=m+2a，即n=2a，
又n+2a=$\sqrt{2}$（m+2a），
解得m=2（$\sqrt{2}$-1）a，
则|AF|=2（$\sqrt{2}$-1）a，|AC|=2$\sqrt{2}$a，
在直角三角形ACF中，可得
|CF|²=|AC|²+|AF|²，
即为4c²=8a²+4（3-2$\sqrt{2}$）a²，
即为c²=（5-2$\sqrt{2}$）a²，
可得双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．