Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=tan

πx

2

，则f（x）在[0，5]上的零点个数是（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可推出f（x）在[0，5]上的零点只可能在0，1，2，3，4，5这6个数中取，从而由函数的性质一一推导即可．

解答： 解：∵当x∈（0，1）时，f（x）=tan

πx

2

，
∴f（x）在（0，1）上没有零点，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-1，0）上也没有零点，
又∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）在[0，5]上的零点只可能在0，1，2，3，4，5这6个数中取，
∵f（0）=0；
故0，2，4是函数的零点，
又∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1）；
∴f（1）=0；
故1，3，5是函数的零点，
故f（x）在[0，5]上的零点个数是6；
故选D．

点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了函数的性质的综合应用，属于中档题．