Question

已知函数f（x）=（x²+ax）e^x（a≠0）
（1）f（x）在x=-3处取到极值，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a是f（x）≥a²x恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=（x²+ax）e^x+（2x+a）e^x=（x²+（2+a）x+a）e^x，从而得到f′（-3）=9-3（2+a）+a=0；从而求得a=

3

2

；从而求单调区间；
（2）f（x）≥a²x可化为（x²+ax）e^x≥a²x，从而可得x[（x+a）e^x-a²]≥0，分类讨论，再利用导数求解．

解答： 解：（1）f′（x）=（x²+ax）e^x+（2x+a）e^x
=（x²+（2+a）x+a）e^x，
∵f（x）在x=-3处取到极值，
∴f′（-3）=9-3（2+a）+a=0；
解得，a=

3

2

；
f′（x）=（x+

1

2

）（x+3）e^x，
故当x∈（-∞，-3），（-

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-3，-

1

2

）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（-∞，-3），（-

1

2

，+∞），
单调减区间为（-3，-

1

2

）；
（2）f（x）≥a²x可化为（x²+ax）e^x≥a²x，
即x[（x+a）e^x-a²]≥0，
①当x≥0时，令g（x）=（x+a）e^x-a²，
g′（x）=（x+1+a）e^x，
当1+a≥0，即a≥-1时，g′（x）≥0；
则g（x）在[0，+∞）上是增函数，
则要使g（x）≥0恒成立，
则g（0）≥0；
即a-a²≥0；
解得，0＜a≤1；
当1+a＜0，即a＜-1时，
x∈[0，-a-1）时，g′（x）＜0，x∈[-a-1，+∞）时，g′（x）＞0；
而g（0）=a-a²＜0；
故0＜a≤1．
②当x≤0时，令g（x）=（x+a）e^x-a²，
g′（x）=（x+1+a）e^x，
当1+a＞0，即a＞-1时，
g（x）在（-∞，-（a+1））上单调递减，
在（-（a+1），0]上单调递增；
故g（0）=a-a²≤0；
故a≤0或a≥1；
当1+a≤0，即a≤-1时，
g（x）在（-∞，0]上单调递减，
故h（0）=a-a²≤0成立；
综上所述，a=1．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．