Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD的中点．求证：
（1）MN∥平面ABP；
（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M，容易得到MN∥BP，由线面平行的判定定理可证；
（2）从充分性和必要性两个方面进行证明，利用面面垂直的性质以及判定定理证明．

解答： 证明：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，则BD必过点M，…（1分）
又点N是PD的中点，则MN∥BP，…（2分）
MN?平面ABP，BP?平面ABP，
∴MN∥平面ABP…（4分）
（2）充分性：由“BP⊥PC．”⇒“平面ABP⊥平面APC”
∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP?平面PBC，BC?平面PBC，BP∩BC=B
∴AB⊥平面PBC，…（6分）
PC?平面PBC∴AB⊥PC，…..（7分）
又PC⊥BP，AB，BP是面ABP内两条相交直线
∴PC⊥平面ABP，PC?平面APC，…（9分）
∴平面ABP⊥平面APC； …..（10分）
必要性：由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”
过B作BH⊥AP于H，
∵平面ABP⊥平面APC，面ABP∩APC=AP，BH?平面ABP∴BH⊥平面APC，…．（12分）
由上已证AB⊥PC，
所以PC⊥平面ABP，PC⊥PB．…．（14分）

点评：本题考查了线面平行的判定定理以及面面垂直的性质以及判定定理的运用属于中档题．