Question

已知在锐角三角形ABC中，sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．
（1）求证：tanA=2tanB；
（2）求tanA的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）把已知的两等式分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，将化简后的两等式组成方程组，两方程相加相减可得出sinAcosB及cosAsinB的值，两式相除并利用同角三角函数间的基本关系可得到tanA与tanB的关系；
（2）由三角形为锐角三角形，得到C的范围，根据三角形的内角和定理得出A+B的范围，由sin（A+B）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（A+B）的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan（A+B）的值，然后利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将得出的tanA的关系式代入得到关于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值．从而可求tanA的值．

解答： 解：（1）由sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．得：

sinAcosB+cosAsinB= 3 5 sinAcosB-cosAsinB= 1 5

，
2式相加得：2sinAcosB=

4

5

，即sinAcosB=

2

5

③，
2式相减得：2cosAsinB=

2

5

，即cosAsinB=

1

5

④，
③÷④得：

tanA

tanB

=2，即tanA=2tanB，
（2）∵锐角△ABC，∴0＜C＜

π

2

，
∴

π

2

＜A+B＜π，又sin（A+B）=

3

5

，
∴cos（A+B）=-

1-sin2(A+B)

=-

4

5

，
∴tan（A+B）=-

3

4

，即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

4

，
将tanA=2tanB代入上式并整理得：2tan²B-4tanB-1=0，
解得：tanB=

2+ 6

2

或tanB=

2- 6

2

（舍去），
则tanB=

2+ 6

2

．
∴tanA=2tanB=2+

6

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意锐角三角形这个条件，属于中档题．