Question

圆M：（x-1）²+y²=9，直线l：y=x-m，当直线与圆相交于P、Q两点，若在x轴上存在一点R，使得RP⊥RQ，求M的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），R（x₀，0），因为RP⊥RQ，所以（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，故2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0，由圆M：（x-1）²+y²=9，直线l：y=x-m可得2x²-2（m+1）x+m²-8=0，再利用韦达定理和根与系数的关系进行求解．

解答： 解：设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），R（x₀，0），
∵RP⊥RQ，
∴k_RPk_RQ=-1，
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+y₁y₂=0，
∴（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（x₁-m）（x₂-m）=0，
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）（x₀+m）+x₀²+m²=0（1）
由圆M：（x-1）²+y²=9，直线l：y=x-m可得2x²-2（m+1）x+m²-8=0
所以x1+x2=m+1，x1x2=

m2-8

2

，
△=4（m+1）²-8（m²-8）＞0，1-3

2

＜m＜1+3

2

将（2）代入（1）整理得x₀²-（m+1）x₀+m²-m-8=0
所以△x0=（m+1）²-4（m²-m-8）≥0，
∴1-2

3

≤m≤1+2

3

适合△＞0，
所以1-2

3

≤m≤1+2

3

．

点评：本题考查圆的性质和应用，考查根与系数的关系的灵活运用，考查学生的计算能力，难度中等．