Question

已知函数f（x）=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx（ω＞0）的周期为4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移

2

3

个单位得到函数g（x）的图象，
P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），根据函数的周期为4=

2π

ω

，求得ω 的值，可得f（x）的解析式．
（2）由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得函数g（x）=

3

sin

π

2

x，求出P、Q的坐标，利用余弦定理求得cosθ 的值，可得θ的值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx（ω＞0）=

3

（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）=

3

sin（ωx+

π

3

），
由于函数的周期为4=

2π

ω

，得ω=

π

2

，
故f（x）=

3

sin（

π

2

x+

π

3

）．
（2）将f（x）的图象沿x轴向右平移

2

3

个单位得到函数g（x）=

3

sin

π

2

x．
因为P、Q分别为该图象的最高点和最低点，
∴P（1，

3

）、Q （3，-

3

）．
所以OP=2，PQ=4，OQ=

12

，cosθ=

OQ2+PQ2-OP2

2OQ•QP

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．

点评：本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图象周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，属于中档题．