Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为

3

4

．则抛物线C的方程为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出点Q到抛物线C的准线的距离为

p

4

+

p

2

=

3

4

，由此能求出抛物线C的方程．

解答： 解：抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F（0，

p

2

），
设M（x₀，

x02

2p

），x₀＞0，Q（a，b），
由题意知b=

p

4

，
则点Q到抛物线C的准线的距离为b+

p

2

=

p

4

+

p

2

=

3

4

p=

3

4

，
解得p=1，
∴抛物线C的方程为x²=2y．
故答案为：x²=2y．

点评：本题考查抛物线的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．