Question

对于数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△₁a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对于正整数k，规定{△_ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△_ka_n=△_k-1a_n+1-△_k-1a_n．若数列{a_n}的通项a_n=3^n-1，则△₂a₁+△₂a₂+△₂a₃+…+△₂a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据新定义，求出△₂a_n=4•3^n-1，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答： 解：∵a_n=3^n-1，
∴△₂a_n=△₁a_n+1-△₁a_n=a_n+2-a_n+1-a_n+1+a_n=4•3^n-1，
∴{△₂a_n}是以4为首项，3为公比的等比数列，
∴△₂a₁+△₂a₂+△₂a₃+…+△₂a_n=4（1+3+…+3^n-1）=4•

1-3n

1-3

=2•3ⁿ-2．
故答案为：2•3ⁿ-2．

点评：本题考查数列递推式，考查新定义，考查等比数列的求和，确定△₂a_n=4•3^n-1，是关键．