Question

对于给定的大于1的正整数n，设x=a₀+a₁n+a₂n²+…+a_nnⁿ，其中a_i∈{0，1，2，…，n-1}，i=1，2，…，n-1，n，且a_n≠0，记满足条件的所有x的和为A_n．
（1）求A₂
（2）设A_n=

nn(n-1)

2

•f（n），求f（n）

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法,排列组合

分析：（1）当n=2时，x=a₀+2a₁+4a₂，a₀∈{0，1}，a₁∈{0，1}，a₂=1，故满足条件的x共有4个，求出它们的和即可；
（2）由分步计数原理求出满足条件的x共有nⁿ（n-1）个，求出A_n中所有含a_n项的和，化简即可

解答： 解：（1）当n=2时，x=a₀+2a₁+4a₂，a₀∈{0，1}，a₁∈{0，1}，a₂=1，
故满足条件的x共有4个，
分别为：x=0+0+4，x=0+2+4，x=1+0+4，x=1+2+4，
它们的和是22．                               
（2）由题意得，a₀，a₁，a₂，…，a_n-1各有n种取法；a_n有n-1种取法，
由分步计数原理可得a₀，a₁，a₂，…，a_n-1的不同取法共有n•n•…n•（n-1）=nⁿ（n-1），
即满足条件的x共有nⁿ（n-1）个，
当a₀分别取0，1，2，…，n-1时，a₁，a₂，…，a_n-1各有n种取法，a_n有n-1种取法，
故A_n中所有含a₀项的和为(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)=

nn(n-1)2

2

；
同理，A_n中所有含a₁项的和为(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)•n=

nn(n-1)2

2

•n；
A_n中所有含a₂项的和为(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)•n2=

nn(n-1)2

2

•n2；
A_n中所有含a_n-1项的和为(0+1+2+…+n-1)nn-1(n-1)•nn-1=

nn(n-1)2

2

•nn-1；
当a_n分别取i=1，2，…，n-1时，a₀，a₁，a₂，…，a_n-1各有n种取法，
故A_n中所有含a_n项的和为(1+2+…+n-1)nn•nn=

nn+1(n-1)

2

•nn；
所以A_n=

nn(n-1)2

2

（1+n+n²+…+n^n-1）+

nn+1(n-1)

2

•nⁿ=

nn(n-1)2

2

nn-1

n-1

+

nn+1(n-1)

2

•nⁿ=

nn(n-1)

2

（nⁿ⁺¹+nⁿ-1）
故f（n）=（nⁿ⁺¹+nⁿ-1）

点评：本题考查了分步计数原理，以及等比数列的问题，培养了学生的转化能力，知识的应用能力，属于难题