Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．给出下列命题：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5个零点
（3）（2013，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）直线是函数y=f（x）图象的一条对称轴
则正确命题个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知，分析出函数的周期和单调性，进而画出满足条件的函数的草图，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答： 解：∵对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴对?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（1）=f（-1）．
∵当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
∴在区间（0，1]上函数为减函数．
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即（1）正确；
满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：

由图可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5个零点，即（2）正确；
所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（3）（2013，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，正确；
函数y=f（x）图象无对称轴，故（4）错误；
则正确命题个数是3个
故选：C

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．