Question

已知数列a_n-a_n-1=2n-1，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想出a_n并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列的递推关系a_n-a_n-1=2n-1，且a₁=1，即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）可猜想：a_n=n²；再利用数学归纳法，分两步：①当n=1时，易证等式成立；②假设n=k时，命题成立，即a_k=k²；去推证n=k+1时，等式也成立即可．

解答： 解：（1）∵a_n-a_n-1=2n-1，且a₁=1，
∴a₂=a₁+2×2-1=1+2×2-1=4；
a₃=a₂+2×3-1=4+2×3-1=9，
同理可得：a₄=16；
（2）由（1）可猜想：a_n=n²；
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由已知a₁=1=1²，成立；
②假设n=k时，命题成立，即a_k=k²；
则当n=k+1时，a_k+1=a_k+2（k+1）-1=k²+2k+1=（k+1）²，
即n=k+1时，等式也成立，
综合①②知，对?n∈N^*，a_n=n²．

点评：本题考查数列的递推关系及数学归纳法的应用，猜得a_n=n²是关键，考查运算及推理证明的能力，属于中档题．