Question

18．已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则$\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 a＞0，b＞0，a+b=1，可得：2a+1+2b+1=4．则$\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}$=$\frac{1}{4}$（2a+1+2b+1）$（\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}）$，展开利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴2a+1+2b+1=4．
则$\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}$=$\frac{1}{4}$（2a+1+2b+1）$（\frac{1}{2a+1}+\frac{4}{2b+1}）$=$\frac{1}{4}（5+\frac{2b+1}{2a+1}+\frac{4（2a+1）}{2b+1}）$≥$\frac{1}{4}$$（5+2\sqrt{\frac{2b+1}{2a+1}•\frac{4（2a+1）}{2b+1}}）$=$\frac{9}{4}$，当且仅当$a=\frac{1}{6}$，b=$\frac{5}{6}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．