Question

6．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，过点P（1，1）能否做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？若能，求出直线l的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的斜率为k，代入A，B的坐标，运用方程相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，由点斜式方程可得直线方程，再代入双曲线的方程，由判别式的符号即可得到结论．

解答 解：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的斜率为k，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{x_1^2-\frac{y_1^2}{4}=1}\\{x_2^2-\frac{y_2^2}{4}=1}\end{array}}\right.$，
两式相减可得，x₂²-x₁²=$\frac{1}{4}$（y₂²-y₁²），
整理可得，$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{4（{x_1}+{x_2}）}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{4×2}{2}=4$，
可得直线l的方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0．
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-\frac{y^2}{4}=1}\\{4x-y-3=0}\end{array}}\right.$，消y并化简得，12x²-24x+13=0，
△=24²-4×12×13=-48＜0，方程没有实数解，
故过点P（1，1）不能做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，考查点差法的运用，注意联立直线方程和双曲线方程，运用判别式大于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．