Question

7．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在R上单调递增；
（3）解不等式f（x²-x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据题意，首先分析可得函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定义域为R，进而求出f（-x），比较可得f（-x）=-f（x），即可得f（x）为奇函数，
（2）将函数解析式变形为f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，设x₁、x₂为任意实数且x₁＜x₂，用作差法分析可得f（x₁）-f（x₂）=2×$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，分析分式的符号可得f（x₁）-f（x₂）=＞0，即可得证明；
（3）根据题意，由f（x）的解析式可得f（0）=0，又由f（x）在R上单调递增，则不等式f（x²-x）＞0可以转化为x²-x＞0，解可得答案．

解答 解：（1）根据题意，对于函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，分析易得2^x+1＞0恒成立，
即函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定义域为R，关于原点对称；
则f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）设x₁、x₂为任意实数且x₁＜x₂，
f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=2×$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
由于x₁＜x₂，则${2}^{{x}_{2}}$＞${2}^{{x}_{1}}$，即${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
又由${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=2×$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
故函数f（x）在R上单调递增；
（3）根据题意，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，则f（0）=0，
不等式f（x²-x）＞0等价于f（x²-x）＞f（0），
又由f（x）在R上单调递增，
则不等式f（x²-x）＞0可以转化为x²-x＞0，
解可得x＜0或x＞1．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合运用，判断函数的奇偶性时需要注意函数的定义域．