Question

15．数列{a_n}满足：a_n-1+a_n+1＞2a_n（n＞1，n∈N^*），给出下述命题：
①若数列{a_n}满足：a₂＞a₁，则a_n＞a_n-1（n＞1，n∈N^*）成立；
②存在常数c，使得a_n＞c（n∈N^*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N^*），则a_p+a_q＞a_m+a_n；
④存在常数d，使得a_n＞a₁+（n-1）d（n∈N^*）都成立．
上述命题正确的①④．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 由a_n-1+a_n+1＞2a_n（n＞1，n∈N^*），得a_n+1-a_n＞a_n-a_n-1（n＞1，n∈N^*）或a_n-1-a_n＞a_n-a_n+1（n＞1，n∈N^*）．然后结合函数的单调性逐一核对四个命题得答案．

解答 解：由a_n-1+a_n+1＞2a_n（n＞1，n∈N^*），得
a_n+1-a_n＞a_n-a_n-1（n＞1，n∈N^*）或a_n-1-a_n＞a_n-a_n+1（n＞1，n∈N^*）．
即数列函数{a_n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，
或数列函数{a_n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大．
对于①，若a₂＞a₁，则数列函数{a_n}为增函数，∴a_n＞a_n-1（n＞1，n∈N^*）成立，正确；
对于②，若数列函数{a_n}为减函数，则命题错误；
对于③，若数列函数{a_n}为减函数，则命题错误；
对于④，∵a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁＞（n-1）（a₂-a₁）+a₁；取d=a₂-a₁，即可说明命题正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对题意的理解，是中档题．