Question

16．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为F（3，0），若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40，则该椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．可得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=40}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=40}\end{array}\right.$，解得c=3，a=5，b=4．
∴该椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、四边形形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．