Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．
（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；
（Ⅱ） 设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=

π

4

，问直线AB是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出A，B的坐标，可得三角形ABO是Rt△，从而可求过A，B，O三点的圆方程；
（Ⅱ）直线AB的方程为：x=my+b，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合α+β=

π

4

，可得b=-2p-2mp，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，
∴直线x=2p与抛物线y²=2px的两个交点坐标分别是：A（2p，2p），B（2p，-2p），
∴三角形ABO是Rt△，
∴过A，B，O三点的圆方程是：（x-2p）²+y²=4p²；
（Ⅱ）设点A(

y 2 1

2p

，y1)，B(

y 2 2

2p

，y2)，直线AB的方程为：x=my+b，它与抛物线相交，
由方程组

x=my+b y2=2px

消去x可得y²-2mpy-2pb=0，
故y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-2pb，
这样，tan

π

4

=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

y1 x1 + y2 x2

1- y1y2 x1x2

=

x2y1+x1y2

x1x2-y1y2

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

即1=

2p•2mp

-2pb-4p2

=-

2mp

b+2p

，所以b=-2p-2mp，
∴直线AB的方程可以写成为：x=my-2p-2mp，即x+2p=m（y-2p），
∴直线AB过定点（-2p，2p）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查和角的正切公式，考查直线过定点，属于中档题．