Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，若实数a满足f（log₂a）+f（log 

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2

a）≤2f（1），则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由偶函数的定义和运用导数判断函数在x＞0上的单调性，可将不等式f（log₂a）+f（log 

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2

a）≤2f（1）
化简为f（log₂a）≤f（1），即f（|log₂a|）≤f（1），即|log₂a|≤1，解得即可得到a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=cosx+x，
∴f′（x）=1-sinx≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤2f（1）
即f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
∴2f（log₂a）≤2f（1）即f（log₂a）≤f（1），
即f（|log₂a|）≤f（1），
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴|log₂a|≤1，
即-1≤log₂a≤1，解得

1

2

≤a≤2．
故答案为：[

1

2

，2]．

点评：本题考查函数的性质及运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，注意函数的定义域，注意运用导数判断单调性，属于中档题．