Question

函数f（x）=-x³+x²+x+m．
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）m=0时，f（x）=-x³+x²+x，得f′（x）=-3x²+2x+1，令f′（x）＞0，解得：-

1

3

＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，或x＜-

1

3

，从而函数的增区间为(-

1

3

，1)，减区间为(-∞，-

1

3

)，(1，+∞)
（2）由（1）可得：f(-

1

3

)=m-

5

27

，f（1）=m+1，由题意得不等式组解出即可．

解答： 解：（1）m=0时，f（x）=-x³+x²+x，
∴f′（x）=-3x²+2x+1，
令f′（x）＞0，解得：-

1

3

＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，或x＜-

1

3

，
∴函数的增区间为(-

1

3

，1)，减区间为(-∞，-

1

3

)，(1，+∞)
 （2）由（1）可得：f(-

1

3

)=m-

5

27

，f（1）=m+1，
若函数f（x）有三个零点，
画出草图，如图示：
，
需满足极小值小于0，极大值大于0，
则：

f(- 1 3 )=m- 5 27 ＜0 f(1)=m+1＞0

，
∴-1＜m＜

5

27

．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题．