Question

若抛物线y=x²上存在两点关于直线l：y=m（x-3）对称，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：

分析：由题意作图可知m＜0，设点A（a，a²），B（b，b²）（a≠b）在抛物线y=x²上，且关于直线l对称，则

b2-a2 b-a •m=-1 b2+a2 2 =m( a+b 2 -3)

，从而化简可得2b²+

2

m

b+

1

m2

+1+6m=0有两个不相同的根，从而得△=（

2

m

）²-4×2×（

1

m2

+1+6m）＞0，化简可得12m³+2m²+1＜0，令f（m）=12m³+2m²+1，由导数可求得f（m）在（-∞，-

1

9

）上单调递增，在（-

1

9

，0）上单调递减，且f（0）=1，从而可得12m³+2m²+1＜0的解在（-∞，-

1

9

）上，再由f（-

1

2

）=12×（-

1

2

）³+2（-

1

2

）²+1=0得到m＜-

1

2

．

解答： 解：由题意可得图如右，m＜0，
设点A（a，a²），B（b，b²）（a≠b）在抛物线y=x²上，
且关于直线l对称，
则

b2-a2 b-a •m=-1 b2+a2 2 =m( a+b 2 -3)

，
即（-

1

m

-b）²+b²=m（-

1

m

-b+b-6），
即2b²+

2

m

b+

1

m2

+1+6m=0，
则由题意可得，方程有两个不相同的根，
故△=（

2

m

）²-4×2×（

1

m2

+1+6m）＞0，
即12m³+2m²+1＜0，
令f（m）=12m³+2m²+1，
则f′（m）=36m²+4m=4m（9m+1），
故f（m）在（-∞，-

1

9

）上单调递增，在（-

1

9

，0）上单调递减，
且f（0）=1，
故12m³+2m²+1＜0的解在（-∞，-

1

9

）上，
又∵f（-

1

2

）=12×（-

1

2

）³+2（-

1

2

）²+1=0，
故m＜-

1

2

，
故答案为：m＜-

1

2

．

点评：本题综合考查了函数图象的对称性与导数的应用，属于难题．