Question

已知定义在R上奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．
（1）请补全函数f（x）的图象；
（2）写出函数f（x）的表达式（只写明结果，无需过程）；
（3）讨论方程|f（x）|=a的解的个数（只写明结果，无需过程）．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）补全f（x）的图象如图1所示：
（2）当x≥0时，设f（x）=a（x-1）²-2，由f（0）=0求得a的值，可得函数的解析式；再利用函数的奇偶性求得x＜0时函数的解析式，综合可得结论．
（3）函数y=|f（x）的图象如图2所示，方程|f（x）|=a的解的个数，即函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数，数形结合、分类讨论可得结论．

解答： 解：（1）补全f（x）的图象如图1所示：
（2）当x≥0时，设f（x）=a（x-1）²-2，由f（0）=0得，a=2，
所以此时，f（x）=2（x-1）²-2=2x²-4x．
当x＜0时，-x＞0，所以 f（-x）=2（-x）²-4（-x）=2x²+4x …①
又f（-x）=-f（x），代入①得 f（x）=-2x²-4x．
综上可得，f（x）=

2x2-4x，x≥0 -2x2-4x，x＜0

．
（3）方程|f（x）|=a的解的个数，即函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数，函数y=|f（x）的图象如图2所示，
由图象可得，当a＜0时，方程无解；当a=0时，方程有三个解；
当0＜a＜2时，方程有6个解； 当a=2时，方程有4个解；当a＞2时，方程有2个解．

点评：本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的图象和性质的应用，利用奇函数的性质求函数的解析式，体现了数形结合、分类讨论、等价转化的数学思想，属于基础题．