Question

已知函数f（x）=a^x-1（x≥0）的图象经过点（3，

1

9

），其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；
（2）若kf²（x）-2f（x）≥-2恒成立，其中x∈（0，2]，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,指数函数的单调性与特殊点

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用代入法，再解方程，即可得到a；
（2）可用换元法，令t=（

1

3

）^x，不等式即为9kt²-6t+2≥0恒成立，t∈[

1

9

，1），即有9k≥

6t-2

t2

，对右边配方，求出最大值即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=a^x-1（x≥0）的图象经过点（3，

1

9

），
则a²=

1

9

，解得，a=

1

3

；
（2）f（x）=（

1

3

）^x-1，kf²（x）-2f（x）≥-2恒成立，
即为k•（

1

3

）^2x-2-2•（

1

3

）^x-1≥-2，
令t=（

1

3

）^x，由于x∈（0，2]，则t∈[

1

9

，1），
则9kt²-6t+2≥0恒成立，即有9k≥

6t-2

t2

=-2（

1

t

-

3

2

）²+

9

2

，
由于t∈[

1

9

，1），则

1

t

∈(1，9]，
则当

1

t

=

3

2

∈（1，9]，不等式右边取得最大值

9

2

，
则9k≥

9

2

，则k≥

1

2

．
则k的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查指数函数的图象和性质及运用，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．