Question

已知函数f（x）=ax²+x+lnx．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1．f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出a=0的函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出f（x）的定义域，讨论①当a＞0时，②当a＜0时，通过解方程求出两根，讨论导数大于0，小于0，求出函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=x+lnx，
∴f′（x）=1+

1

x

，∴k=f′（1）=1+1=2．
又∵f（1）=1，∴切点的坐标是（1，1），
∴切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．
（Ⅱ）∵f（x）=ax²+x+lnx．
∴f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=2ax+1+

1

x

=

2ax2+x+1

x

．
①当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在x＞0上是增函数； 
②当a＜0时，由f′（x）=0，即2ax²+x+1=0，得x=

-1± 1-8a

4a

．
∵x₁=

-1- 1-8a

4a

＞0，x₂=

-1+ 1-8a

4a

＜0，
∴当x∈（0，

-1- 1-8a

4a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（

-1- 1-8a

4a

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．