Question

7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$asinB-bcosA=b，
（1）求∠A的大小；
（2）若b+c=4，当a取最小值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （　　）1）由题意和正弦定理可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合三角形内角的范围可得角A；
（2）由余弦定理可得a²=4-3bc，再由已知式子和基本不等式可得bc的范围，可得此时边长，可得三角形的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$asinB-bcosA=b，
由正弦定理可得$\sqrt{3}$sinAsinB-sinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
即2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围可得A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc，
由基本不等式可得bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=4，当且仅当b=c=2时取等号，
故-bc≥-4，∴-3bc≥-12，故a²=16-3bc≥4，
∴a的最小值为2，此时△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和和差角的三角函数公式，属中档题．