Question

2．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0（其中f′（x）为f（x）的导函数），则f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 由当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，可得g（x）=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，可得关于x的不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x）
令g（x）=xf（x），
∴g（-x）=g（x）是定义在R上的偶函数，
又∵f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，
∴g（2）=g（-2）=0
又∵当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，
即当x＞0时，g′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）是减函数，
∴当x＞0时，f（x）＞0，即g（x）＞g（2），解得：x＞2
∴当x＜0时，f（x）＞0，即g（x）＜g（-2），解得：-2＜x＜0，
∴不等式xf（x）＜0的解集为：（-2，0）∪（2，+∞），
故（-2，0）∪（2，+∞）
故选：C．

点评 本题考查奇偶性与单调性的综合，着重考查奇函数的图象与性质，属于中档题．