Question

6．已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，则该几何体的外接球的体积为$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：取AB的中点F，AF的中点E，由三视图可得：AB垂直平面CDE，且平面△CDE为$\sqrt{3}$的正三角形，AB=1+3=4，可得CF=DF=2，故F即为棱锥外接球的球心．

解答 解：已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：
取AB的中点F，AF的中点E，
由三视图可得：AB垂直平面CDE，且平面△CDE为$\sqrt{3}$的正三角形，AB=1+3=4，
∴AF=BF=2，EF=1，
∴CF=DF=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，
故F即为棱锥外接球的球心，半径R=2，
故外接球的体积V=$\frac{4π}{3}×$2³=$\frac{32π}{3}$．
故答案为：$\frac{32π}{3}$．

点评 本题考查了三棱锥的三视图、外接球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．