Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．M是PD的中点．
（1）证明PB∥平面MAC；
（2）证明平面PAB⊥平面ABCD；
（3）求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面平行的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接MO，由ABCD是矩形，AC∩BD=0，知O是BD的中点，故OM∥PB，由此能够证明PB∥平面MAC．
（2）由AD=2，PA=2，PD=2

2

，知PA⊥AD，由ABCD是矩形，知AB⊥AD，故AD⊥平面PAB，由此能够证明平面PAB⊥平面ABCD．
（3）分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系，利用向量法能够求出直线与平面所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：连接MO，
∵ABCD是矩形，AC∩BD=0，
∴O是BD的中点，
∵M是PD的中点，
∴OM∥PB，
∵PB?平面MAC，OM?平面MAC，
∴PB∥平面MAC．

（2）证明：∵AD=2，PA=2，PD=2

2

，
∴PA⊥AD，
∵ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（3）解：∵平面ABCD⊥平面PAB
∴分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系，
根据平面ABCD⊥平面PAB，AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°，
得P（1，0，

3

），C（3，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），
∴

PC

=（2，2，-

3

），

AP

=(1，0，

3

)，

AD

=（0，2，0），
设平面PAD的法向量

n

=(x，y，z)，则

AP

•

n

=0，

AD

•

n

=0，
∴

x+ 3 z=0 y=0

，∴

n

=(

3

，0，-1)，
设直线与平面所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

PC

＞|=|

2 3 + 3

2× 11

|=

3 33

22

．

点评：证明线面平行只要在平面内找到一条直线与已知直线平行即可，证明面与面垂直只要证明其中一个平面过另一个平面的垂线即可，求三棱锥的体积关键是找到一个高并且简单易求．