Question

△ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边，

m

=（2a+c，b），

n

=（cosB，cosC），且

m

•

n

=0．
（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=2sinxcosxcos（A+C）-

3

2

cos2x，求f（x）的周期及当f（x）取得最大值时的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量的综合题

专题：综合题

分析：（1）利用向量的数量积及正弦定理，即可求得角B的大小；
（2）利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求函数f（x）的最小正周期，最大值及当f（x）取得最大值时x的值．

解答： 解：（1）∵

m

=(2a+c，b)，

n

=(cosB，cosC)，且

m

•

n

=0．
∴（2a+c）cosB+bcosC=0
∴2acosB+ccosB+bcosC=0
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0（2分）
即2sinAcosB+sin（C+B）=0，
∴sinA（2cosB+1）=0，（4分）
在△ABC中，sinA≠0，∴2cosB+1=0，
∵B∈（0，π），∴B=

2

3

π（6分）
（2）∵B=

2

3

π，∴A+C=

π

3

∴f(x)=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)（8分）
所以f（x）的最小正周期为π（10分）
令2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

5

12

π(k∈Z)
即当x=kπ+

5

12

π(k∈Z)，时f（x）取最大值1       （12分）

点评：本题考查解三角形与三角函数的综合，考查向量知识与正弦定理的运用，考查三角函数的性质，属于中档题．