Question

已知向量

a

=(1，sinx)，

b

=(cos(2x+

π

3

)，sinx)，函数f(x)=

a

•

b

（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）在△ABC中，角C为钝角，若f（

C

2

）=-

1

4

，a=2，c=2

3

．求△ABC的面积．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由数量积的定义和三角函数的运算易得函数的解析式，再由整体法可求单调递增区间；
（2）结合（1）的结论可求C，由正弦定理可求A，进而由三角形的内角和可得B，然后代入三角形的面积公式可得答案．

解答： 解：（1）f(x)=

a

•

b

=cos（2x+

π

3

）+sin²x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，得：kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，
所以单调递增区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z …（6分）
（2）∵f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，∴sinC=

3

2

又角C为钝角，所以C=

2π

3

，…（8分）
由正弦定理可得：

2

sinA

=

2 3

sinC

，解得sinA=

1

2

，而0＜A＜

π

3

，
∴A=

π

6

，由三角形的内角和可得B=

π

6

，…（10分）
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．      …（12分）

点评：本题考查解三角形，涉及平面向量的数量积和三角函数的运算，属中档题．