Question

10．某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年利润y（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费x_i和年利润y_i（i=1，2，3，4，5）进行了统计，列出了下表：

x（单位：千元）	2	4	7	17	30
y（单位：万元）	1	2	3	4	5

员工小王和小李分别提供了不同的方案．
（1）小王准备用线性回归模型拟合y与x的关系，请你建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）小李决定选择对数回归模拟拟合y与x的关系，得到了回归方程：$\widehat{y}$=1.450lnx+0.024，并提供了相关指数R²=0.995，请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据$\sum_{i=1}^{5}$（y_i-$\widehat{y}$_i）²=1.15）
参考公式：相关指数R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x，参考数据：ln40=3.688，${\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）}^2}$=538．

Answer 1

分析 （1）$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=3，求出回归系数，可得回归方程；
（2）小王模型的相关指数R²=0.89，这个值比小李模型相关指数小，小李模型的拟合度更好，所以选择小李提供的模型更合适．

解答 解：（1）$\overline{x}$=12，$\overline{y}$=3，所以，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{69}{538}$≈0.13，$\stackrel{∧}{a}$=1.44，
小王建立y关于x的线性回归方程为：$\stackrel{∧}{y}$=0.13x+1.44．…（6分）
（2）据$\sum_{i=1}^{5}$（y_i-$\overline{y}$）²=10，所以小王模型的相关指数R²=0.89，这个值比小李模型相关指数小，小李模型的拟合度更好，所以选择小李提供的模型更合适．
当x=40 时，由小李模型得$\stackrel{∧}{y}$≈5.37，
预测年宣传费为4万元的年利润为5.37万元．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的特点，考查相关指数，属于中档题．