题目内容
15．已知直线l：y=x+m，圆O：x2+y2-4=0，圆C：x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0（0＜a≤4）．（1）若a=3，圆O与圆C交于M，N两点，试求线段|MN|的长．
（2）直线 l与圆C相切，且直线l在圆C心的下方，当0＜a≤4时，求m的取值范围．
分析 （1）由方程x2+y2-4=0与x2+y2+6x-6y+6=0消去二次项得，3x-3y+5=0，再求得圆心O到直线3x-3y+5=0的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得线段|MN|的长；
（2）由直线l与圆C相切，建立m与a的关系$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，再由点C在直线l的上方，去掉绝对值，将m转化为关于a二次函数求解．
解答 解：（1）当a=3时，C：x2+y2+6x-6y+6=0，由方程x2+y2-4=0与x2+y2+6x-6y+6=0消去二次项得，3x-3y+5=0，圆心O到直线3x-3y+5=0的距离为$d=\frac{{|{0-0+5}|}}{{\sqrt{9+9}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{6}$，∴$|{MN}|=2\sqrt{4-\frac{25}{18}}=\frac{{\sqrt{94}}}{3}$．
（2）∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0，∴（x+a）2+（y-a）2=4a，∴圆心C（-a，a），半径$r=2\sqrt{a}$，
圆心C（-a，a）到直线l的距离为$d=\frac{{|{-a-a+m}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∵直线l与圆C2相切，∴d=r，即$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，∴$m=2a±2\sqrt{2a}$，
∵直线l在圆心C的下方，∴$m=2a-2\sqrt{2a}={（{\sqrt{2a}-1}）^2}-1$，∵0＜a≤4，
∴$m∈[{-1，8-4\sqrt{2}}]$．
点评 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相交，由圆心距，半径和圆的弦长构成的直角三角形．
如图，几何体ABC-C1B1的底面ABC为等边三角形，侧面BB1C1C为矩形，B1B⊥平面ABC，E为边AB1的中点，D在边BC上移动．| A． | f（λ）=$\frac{λ}{λ+2}$ | B． | f（λ）=$\frac{2λ}{λ+6}$ | C． | f（λ）=$\frac{3λ}{λ+7}$ | D． | f（λ）=$\frac{4λ}{λ+9}$ |
| x（单位：千元） | 2 | 4 | 7 | 17 | 30 |
| y（单位：万元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（1）小王准备用线性回归模型拟合y与x的关系，请你建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）小李决定选择对数回归模拟拟合y与x的关系，得到了回归方程：$\widehat{y}$=1.450lnx+0.024，并提供了相关指数R2=0.995，请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据$\sum_{i=1}^{5}$（yi-$\widehat{y}$i）2=1.15）
参考公式：相关指数R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x，参考数据：ln40=3.688，${\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）}^2}$=538．
