题目内容
某小微企业日均用工人数a（人）与日营业利润f（x）（元）、日人均用工成本x（元）之间的函数关系为，f（x）=-
x3+5x2+30ax-500（x≥0）．
（1）若日均用工人数a=20，求日营业利润f（x）的最大值；
（2）由于政府的减税、降费等一系列惠及小微企业政策的扶持，该企业的日人均用工成本x的值在区间[10，20]内，求该企业在确保日营业利润f（x）不低于24000元的情况下，该企业平均每天至少可供多少人就业．
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（1）若日均用工人数a=20，求日营业利润f（x）的最大值；
（2）由于政府的减税、降费等一系列惠及小微企业政策的扶持，该企业的日人均用工成本x的值在区间[10，20]内，求该企业在确保日营业利润f（x）不低于24000元的情况下，该企业平均每天至少可供多少人就业．
考点：函数模型的选择与应用
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）求函数的导数，根据导数和最值之间的关系即可求日营业利润f（x）的最大值；
（2）利用参数分离法将不等式进行转化，然后求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解即可．
（2）利用参数分离法将不等式进行转化，然后求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解即可．
解答：
解：（1）若a=20，f（x）=-
x3+5x2+600x-500（x≥0）．
函数的导数f′（x）=-x2+10x+600=-（x+20）（x-30），
∵x≥0，
∴当x∈[0，30）时，f′（x）＞0，
当x∈（30，+∞）时，f′（x）＜0，故当x=30时，函数取得极大值，同时也是最大值f（30）=13000．
（2）由f（x）=-
x3+5x2+30ax-500≥24000．得90a≥x2-15x+
．
令h（x）=x2-15x+
．
则h′（x）=2x-15-
，
∵h′（x）=2x-15-
在[10，20]上是单调递增函数，
∴h′（x）≤h′（20）=40-15-
＜0，
∴h（x）=x2-15x+
在[10，20]上是单调递减函数，
则h（x）．在[10，20]上的最大值为h（10）=100-150+7350=7300．
则90a≥7300，即a≥
，
∴a最小为82人，
即企业平均每天至少可供82人就业．
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函数的导数f′（x）=-x2+10x+600=-（x+20）（x-30），
∵x≥0，
∴当x∈[0，30）时，f′（x）＞0，
当x∈（30，+∞）时，f′（x）＜0，故当x=30时，函数取得极大值，同时也是最大值f（30）=13000．
（2）由f（x）=-
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| x |
令h（x）=x2-15x+
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| x |
则h′（x）=2x-15-
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| x2 |
∵h′（x）=2x-15-
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∴h′（x）≤h′（20）=40-15-
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∴h（x）=x2-15x+
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则h（x）．在[10，20]上的最大值为h（10）=100-150+7350=7300．
则90a≥7300，即a≥
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∴a最小为82人，
即企业平均每天至少可供82人就业．
点评：本题主要考查函数的应用问题，利用导数解决生活中的优化问题，综合考查导数的应用．
练习册系列答案
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