Question

已知f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）若不等式f（3t²-1）+f（4t-k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用换元法令log_ax=t，则x=a^t，代入f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）即可求得函数f（x）的解析式；
（2）函数的定义域为R，由f（-x）=-f（x）证明函数为奇函数，求导后由导函数恒大于0可得f（x）为R上的单调增函数；
（3）由函数的单调性和奇偶性把f（3t²-1）+f（4t-k）＞0对任意t∈[1，3]都成立转化为3t²-1＞-4t+k对任意t∈[1，3]都成立，即3t²+4t-1＞k对任意t∈[1，3]都成立，求出3t²+4t-1在[1，3]上的最小值可得k的取值范围．

解答： 解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，
由f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

），得f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，
（2）∵定义域为R，且f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵f′（x）=

a

a2-1

(axlna+a-xlna)=

a•lna

a2-1

(ax+a-x)，
当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）为R上的单调增函数；
（3）f（3t²-1）+f（4t-k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，
即f（3t²-1）＞-f（4t-k）对任意t∈[1，3]都成立，
也就是f（3t²-1）＞f（-4t+k）对任意t∈[1，3]都成立，
即3t²-1＞-4t+k对任意t∈[1，3]都成立，
即3t²+4t-1＞k对任意t∈[1，3]都成立，
∵3t2+4t-1=3(t2+

4

3

t)-1=3(t+

2

3

)2-

7

3

在t∈[1，3]上的最小值为

18

3

．
∴k＜

18

3

．
则k的取值范围是（-∞，

18

3

）．

点评：本题考查了函数奇偶性和单调性的形状，考查了数学转化思想方法，训练了二次函数的最值得求法，是中档题．